Für kaffee- und teeverfärbte Thermoskannen habe ich immer ein paar Gebissreiniger zu Hause, die man darin auflöst und dann mit einer Flaschenbürste ausspült. Geht meistens ganz wunderbar.
Solltest Du so etwas nicht parat haben, probier mal, Backpulver in der Tasse mit warmen Wasser aufzulösen, etwas stehen lassen und dann mit einem Schwamm ausspülen.